Il calcolo delle coordinate con il Sole senza sestante e senza effemeridi
Vi illustro ora un sistema per poter calcolare la latitudine e la longitudine di un luogo, per esempio la vostra città, senza l'uso del sestante e delle effemeridi. Il principio si basa sul calcolo del passaggio del Sole sul vostro meridiano. Troveremo prima la longitudine e, il giorno dopo, la latitudine. E' necessario osservare due volte il Sole il primo giorno, attorno alle 11 (o prima) ed attorno alle 13 (o dopo) ora locale, ed attorno al mezzogiorno il giorno dopo.
Osservazioni del primo giorno: calcolo della longitudine.
Partiamo dal presupposto che voi non conosciate il vostro meridiano, ossia la vostra longitudine. Quello che vogliamo fare è determinare il momento in cui il Sole, a causa della rotazione terrestre, passa esattamente per il vostro meridiano, ossia quando è esattamente a sud. Una bussola non è sufficientemente precisa per questo scopo. Determineremo quindi il momento in cui il Sole ha la massima altezza sull'orizzonte, ossia il momento in cui le ombre sono più corte. Ma anche questo metodo, anche se più preciso della bussola, non è sufficientemente preciso per i nostri scopi. Calcoleremo quindi due momenti a cavallo del mezzogiorno locale in cui le ombre hanno la stessa ampiezza, e faremo la media temporale.
Prendete una riga, una squadretta ed una livella. Esistono, e sono l'ideale per il nostro scopo, delle piccole squadrette 90° - 45° - 45° di circa 6 o 7 cm con una piccola livella a bolla incorporata. Ponete la squadretta (fate in modo che il lato più piccolo non sia più lungo di 10-15 cm) e ponetela sulla riga, con il cateto piccolo in verticale. Con la livella controllate che la riga e la squadra siano perfettamente orizzontali. Misurate l'ombra della squadra sulla riga e prendete nota dell'ora, con la massima precisione che vi riesce. Se avete fatto questa osservazione intorno alle 11 ora locale dovete aspettare qualche qualche minuto prima delle 13 ora locale per compiere la seconda osservazione. Ponete gli strumenti come prima e questa volta prendete nota del momento in cui la lunghezza dell'ombra è uguale alla prima osservazione.
Esempio
Prima osservazione: alle 11hh 15mm 17ss locali l'ombra era lunga 14,5 cm.
Seconda osservazione: l'ombra è lunga 14,5 cm alle 13hh 02mm 03ss locali.
Calcolo della longitudine.
Facciamo la media aritmetica fra questi due valori. Ossia sommiamo 11hh 15mm 17ss + 13hh 02mm 03ss e dividiamo per 2.
Un'ora sono 3600 secondi, 1 minuto 60 secondi, quindi 11hh 15mm 17ss sono in totale 11*3600 + 15*60 +17 = 39600 + 900 +17 = 40517 secondi.
Analogamente 13hh 02mm 03 ss valgono 13*3600 + 2*60 + 3 = 46800 + 120 +3 = 46923 secondi.
Facciamo la media ed otteniamo (40517 + 46923) / 2 = 87440 / 2 = 43720 secondi. Dobbiamo ritrasformare questo valore in ore.
Dividiamo 43720 per 3600, la parte intera del risultato rappresentano le ore. 43720 / 3600 = 12,14444 vuol dire 12 ore. Poi moltiplichiamo la parte decimale, 0,14444 per 60 ed otteniamo i minuti. 0,14444 * 60 = 8,666. Quindi abbiamo 8 minuti. La parte decimale di questo risultato va moltiplicata per 60 per ottenere i secondi. Quindi 0,666 * 60 = 40, cioè 40 secondi.
La media fra le due osservazioni è quindi 12hh 08mm 40ss. Questo vuol dire che il Sole avrebbe raggiunto l'altezza massima alle 12hh 08mm 40ss. Non essendo presente l'ora legale per trasformare questo valore in orario di Greenwich togliamo un'ora, 11hh 08mm 40ss. Con l'ora legale si sottraggono due ore.
Dobbiamo ora determinare in quale momento il Sole passava per il meridiano di Greenwich quel giorno. A causa del movimento ellittico della Terra attorno al Sole tale momento non sono sempre le 12 ora di Greenwich, ma varia con un termine che viene definito "Equazione del Tempo". Tale termine vale poco più di un quarto d'ora di anticipo o di ritardo al massimo, ed è ricavabile dalle effemeridi o dal programma Cielo. Poiché vi avevo promesso che non saremmo ricorsi alle effemeridi vi rimando alla Tabella 1 che presenta per ogni giorno del 2005 (per gli altri anni i valori sono simili, ma non uguali) il momento in cui il Sole passa per il meridiano di Greenwich.
Esempio:
Abbiamo fatto la nostra osservazione il 5 gennaio. Il Sole passa per il meridiano di Greenwich alle 12hh 05mm30ss. Passa invece sul nostro meridiano alle 11hh 08mm 40ss, cioè con un anticipo di 12hh 05mm 30ss - 11hh 08mm 40ss = 0hh 56mm 50ss. Questo anticipo è dovuto alla nostra longitudine. L'anticipo vuol dire Est, il ritardo Ovest. Siamo quindi 0hh 56mm 50ss ad Est di Greenwich. Per trasformare tale valore in gradi basta moltiplicare per 15, in quanto la Terra gira di 15° ogni ora (e di 360° in 24 ore).
0hh* 15 = 0°
56mm*15 = 840' (primi di grado)
40ss*15 = 600" (secondi di grado)
Divido 840 per 60 ed ottengo il valore in gradi, cioè 840 / 60 = 14,00 gradi ossia 14°. Mancano da aggiungere i 600". Dividendo per 60 otteniamo esattamente 10', senza ulteriori parti decimali. Allora 56mm 50ss vogliono dire 14° + 10' = 14° 10'
La nostra longitudine è quindi 14° 10' Est.
Osservazione del secondo giorno: calcolo della latitudine.
Il giorno successivo, il 6 gennaio, il Sole passa per il meridiano di Greenwich alle 12hh 05mm 56ss, cioè 26 secondi dopo il 5 gennaio. Passerà quindi per il nostro meridiano 26 secondi dopo le 12hh 08mm 40ss locali, cioè alle 12hh 09mm 06ss ora locale. A quell'ora noi misureremo la lunghezza dell'ombra, da lì risaliremo all'altezza del Sole e quindi determineremo la nostra latitudine. Infatti, dalle effemeridi, o dal programma Cielo, o dalla solita tabella, siamo in grado di conoscere la declinazione del Sole. Cos' è la declinazione del Sole? Corrisponde esattamente alla latitudine del punto sulla Terra da cui il Sole è visibile esattamente allo zenith. Il giorno 6 gennaio la declinazione del Sole è 22° 27' Sud. Questo vuol dire che ci sarà un'istante della giornata in cui da quella latitudine il Sole passa allo zenith. Ma noi conosciamo anche il momento in cui il Sole passa per la nostra longitudine di 14° 10' Est, le 12hh 09mm 06ss. Se in quel momento l'altezza del Sole fosse di 90° vorrebbe dire che la nostra latitudine sarebbe di 22° 27' Sud. Se fosse di 89° sarebbe o di 21° 27' Sud o 23° 27' Sud. Se fosse di 80° sarebbe o di 12° 27' Sud o di 32° 27' Sud. Se fosse di 25° sarebbe di 87° 27' Sud o di 42° 33' Nord. In parole povere si aggiunge il complemento dell'altezza (90° - altezza) alla declinazione, dal momento che a nord del Tropico del Cancro il valore della latitudine fra i due possibili è senz'altro quello più a nord dell'altro. In parole povere per il calcolo della latitudine a nord del Tropico del Cancro useremo la formula:
Latitudine = 90° - altezza + declinazione del Sole
In caso di declinazioni Sud il valore della declinazione assume segno negativo. Possiamo quindi dividere la formula così, se ci è più chiara:
Latitudine = 90° - altezza + declinazione del Sole (per declinazioni Nord)
Latitudine = 90° - altezza - declinazione del Sole (per declinazioni Sud)
Ma come si determina l'altezza del Sole alle 12hh 09mm 08ss locali? Semplicemente misurando la lunghezza dell'ombra di un oggetto. Utilizzeremo quindi lo stesso sistema della riga, la squadra e la livella. Alle 12hh 09mm 08ss misuriamo l'ombra della squadra, per esempio 13,7 cm. Prendiamo nota della lunghezza del cateto, per esempio 6,5 cm. Dividiamo 6,5 per 13,7 ed otteniamo 0,474. Dobbiamo ora calcolare l'arcotangente di 0,474 ossia determinare quale angolo ha per tangente 0,474. Tale angolo è 25,38 gradi. Moltiplichiamo la parte decimale 0,38 per 60 ed otteniamo il valore dei primi, cioè 23. L'altezza del Sole è quindi 25° 23'. Questo valore è suscettibile di un piccolo miglioramento. Infatti, poiché a causa della rifrazione atmosferica il Sole appare leggermente più alto di quello che in realtà è, l'altezza del Sole va diminuita di un piccolo valore correttivo. Nella Tabella 2 riporto la correzione in primi di grado da sottrarre all'altezza per la rifrazione atmosferica:
quindi per 25° gradi di altezza bisogna sottrarre 2 primi. L'altezza diventa quindi 25° 21'.
La nostra latitudine allora è:
90° - 25° 21' - 22° 27' = 64° 39' - 22° 27' = 42° 12' Nord.
Per il calcolo dell'arcotangente ci siamo avvalsi di una calcolatrice con funzionalità trigonometriche. Chi non disponesse di tale calcolatrice può utilizzare il programma Arcotangente per calcolare l'angolo.
Le nostre coordinate sono allora:
42° 12' Nord 14° 10' Est
La precisione che si raggiunge con questo sistema è di circa 10 miglia nautiche, o circa 20 km. L'imprecisione, oltre agli inevitabili errori strumentali, è dovuta al fatto che abbiamo considerato la declinazione del Sole come costante. Viceversa un'ora prima ed un'ora dopo il passaggio del Sole sul nostro meridiano la declinazione non è la stessa del momento in cui il Sole passa sul meridiano di Greenwich, ossia il valore fornito dalla Tabella 1. Tale differenza, anche se piccola (al massimo un primo di grado) influenza tanto la longitudine che la latitudine.